Асимптотичні оцінки поперечників класів функцій високої гладкості

Abstract

Знайдено двосторонні оцінки колмогоровських, берштейнівських, лінійних та проекційних поперечників класів у просторі згорток 2 π -періодичних функцій φ таких, що ∥ φ ∥ 2 ≤ 1 , із довільними твірними ядрами Ψ ¯ β , ряд Фур'є яких має вигляд ∞ ∑ k = 1

ψ ( k ) cos ( k t − β k π / 2 ) , де ψ ( k ) ≥ 0 ,

∑ ψ 2 ( k ) < ∞ , β k ∈ R . Показано, що для швидко спадних послідовностей ψ ( k ) (зокрема, таких, що lim k → ∞

ψ ( k + 1 ) / ψ ( k ) = 0 ) одержані оцінки є асимптотичними рівностями. Встановлено, що асимптотичні рівності для поперечників зазначених класів реалізують тригонометричні суми Фур'є.