Про індекс спеціальних досконалих поліномів

Abstract

У статті ми подаємо нижню оцінку степеня та кількості різних простих дільників індексу спеціальних досконалих поліномів. Точніше, ми доводимо, що ω ( d ) ≥ 9 та deg ( d ) ≥ 258 , де d := gcd ( Q 2 , σ ( Q 2 ) ) є індексом спеціального досконалого полінома A := p 2 1 Q 2 , в якому p 1 є незвідним та має мінімальний степінь. Це означає, що σ ( A ) = A у поліноміальному кільці F 2 [ x ] . Функція σ є природним аналогом функції, що обчислює суму дільників над полем цілих чисел. Розглянутий індекс є аналогом індекса непарного досконалого числа, для якого нижня межа 135 є відомою. У нашій роботі використано елементарні властивості поліномів, а також результати статті [J. Théor. Nombres Bordeaux 2007, 19 (1), 165 − 174].