Зв'язок алгебраїчних рівнянь з (n, m)-формами, їх степенями і рекурентними дробами

Abstract

Алгебраїчні та рекурентні рівняння мають широке застосування не тільки в алгебрі, але й в інших розділах математики, чим викликають неабияке зацікавлення до різного роду об'єктів та методів дослідження пов'язаних із ними. В цій статті досліджено зв'язок (n, m) -форм з узагальненими рівняннями Пеля, алгебраїчними рівняннями n -ого степеня і рекурентними дробами. Розглянуто властивості (n, m^n+1) -форми і її характеристичного рівняння. Застосовано парафункції трикутних матриць до алгебраїчних рівнянь n-ого степеня та відповідних їм рекурентних рівнянь. Досліджено вигляд суміжних коренів анулюючого полінома довільної (n, m) -форми над полем раціональних чисел. Для деяких прикладних задач велике значення має відповідь на питання: чи є дана (n, m) -форма найбільша за модулем серед своїх суміжних коренів? Тоді в цьому випадку існуватиме одноперіодичний рекурентний дріб n -ого порядку, який дорівнюватиме даній (n, m) -формі, а його m -те раціональне вкорочення буде її раціональним наближенням. Автор виділив клас (n, m) -форм, які є найбільшими за модулем серед своїх суміжних коренів, та показав як для них знайти одноперіодичні рекурентні дроби n -ого порядку й раціональні наближення