Обернена задача та задача диференційовної зв'язності для деяких гіпергеометричних многочленів.

Abstract

Розглянемо послідовності многочленів Pn(x)n0 Qn(x)n0 такі, що deg(Pn(x))=n deg(Qn(x))=n Задача зв'язності для них полягає у знаходженні коефіцієнтів nk у виразі Qn(x)=nk=0nkPk(x) Задача зв'язності для різних типів многочленів має довгу історію і продовжує викликати інтерес в різних галузях математики, зокрема в комбінаториці, математичній фізиці, квантовій хімії. Для часткового випадку Qn(x)=xn задача зв'язності називається оберненою задачею для Pn(x)n0 Частковий випадок Qn(x)=Pn+1(x) має назву диференціальної задачі зв'язності для послідовності многочленів Pn(x)n0 В пропонованій статті ми знаходимо у замкненому вигляді коефіцієнти оберненої і диференціальної задач зв'язності для гіпергеометричних многочленів вигляду 2F1−na b z2F1−nn+a b z2F1−na n+b z де 2F1ab c z=k=0(c)k(a)k(b)kk!zk ---гіпергеометрична функція Гауса, а (x)n позначає символ Похгаммера, який визначається формулою (x)n=1n=0 x(x+1)(x+2)(x+n−1)n0 Всі многочлени розглядаються над полем дійсних чисел.