Обернена задача для диференціального рівняння порядку 2b з дробовою похідною за часом

Abstract

Вивчаємо обернену задачу для диференціального рівняння порядку 2b з дробовою похідною порядку (01) за часом і заданими узагальненими функціями типу Шварца у правих частинах рівняння і початкової умови. Задача полягає у знаходженні пари функцій (ug): узагальненого розв'язку u задачі Коші для такого рівняння і залежного від часу неперервного множника g у правій частині рівняння.Як додаткову умову використовуємо аналог інтегральної умови (u(t)0())=F(t) t[0T] де (u(t)0()) -- значення шуканого узагальненого розв'язку u задачі Коші на фіксованій основній функції 0(x), xRn для кожного значення t, F -- задана неперервна функція. Доводимо теорему існування і єдиності узагальненого розв'язку задачі Коші, одержуємо його зображення за допомогою вектор-функції Ґріна. Доведення теореми грунтується на властивостях спряжених операторів Ґріна задачі Коші на просторах типу Шварца основних функцій і структурі узагальнених функцій типу Шварца. Встановлюємо достатні умови однозначної розв'язності оберненої задачі і знаходимо зображення невідомої функції g через розв'язок певного інтегрального рівняння Вольтерри другого роду з інтегровним ядром