Топологія на спектрі алгебри цілих симетричних функцій обмеженого типу на комплексному просторі L

Abstract

Відомо, що так звані елементарні симетричні поліноми Rn(x)=[01](x(t))ndt утворюють алгебраїчний базис алгебри усіх симетричних неперервних поліномів на комплексному банаховому просторі L яка є скрізь щільною в алгебрі Фреше Hbs(L) усіх цілих симетричних функцій обмеженого типу на L Як наслідок, кожен неперервний го\-мо\-мор\-фізм :Hbs(L)C однозначно визначається послідовністю (Rn)n=1 За неперервністю гомоморфізму послідовність n(Rn)n=1 є обмеженою. З іншого боку, для кожної послідовності nn=1C такої, що послідовність nnn=1 є обмеженою, існує xL така, що Rn(x)=n для кожного nN Тому для функціонала обчислення значення в точці x буде x(Rn)=n для кожного nN Отже, кожен неперервний комплекснозначний гомоморфізм алгебри Hbs(L) збігається із функціоналом обчислення значення в деякій точці простору L Зауважимо, що така точка не є єдиною. Розглянемо відношення еквівалентності на L визначене правилом xyx=y Тоді спектр (множина усіх неперервних комплекснозначних гомоморфізмів) Mbs алгебри Hbs(L) є у взаємно однозначній відповідності із фактор-множиною L Відповідно, на Mbs можна розглянути фактор-топологію. З іншого боку, природно ототожнити Mbs із множиною усіх послідовностей nn=1C таких, що послідовність nnn=1 є обмеженою.