Крайова задача для сингулярного рівняння теплопровідності

Abstract

Запропоновано схему розв'язування мішаної задачі за загальних крайових умов для рівняння теплопровідності a(x)T=x(x)xT з коефіцієнтом a(x), який є узагальненою похідною функції обмеженої варіації, (x)0, −1(x) -- обмежена і вимірна функція. Крайові умови мають вигляд p11T(0)+p12Tx[1](0)+q11T(l)+q12Tx[1](l)=1() p21T(0)+p22Tx[1](0)+q21T(l)+q22Tx[1](l)=2() де через Tx[1](x) позначено квазіпохідну (x)xT. Розв'язок цієї задачі шукається методом редукції у вигляді суми двох функцій T(x)=u(x)+v(x). Цей метод дає змогу звести розв'язування поставленої задачі до розв'язування двох задач: крайової квазістаціонарної задачі з початковими і крайовими умовами для відшукання функції u(x) і мішаної задачі з нульовими крайовими умовами для деякого неоднорідного рівняння з невідомою функцією v(x). Перша з цих задач розв'язується з допомогою введення квазіпохідної. Для розв'язування другої задачі застосовується метод Фур'є і розвинення за власними функціями деякої крайової задачі для квазідиференціального рівняння другого порядку ((x)X(x))+a(x)X(x)=0. Функція v(x) подається у вигляді ряду за власними функціями цієї крайової задачі. Отримані результати можна використовувати для дослідження процесу теплопередачі в багатошаровій плиті.