Деякі властивості узгальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля

Abstract

У цій статті ми представляємо нове сімейство многочленів типу Аппеля { A ( k ) n ( m , x ) } ,

n , m ∈ N 0 ,

k ∈ N , кожен представник якого визначений над полем дійсних чисел і може бути представлений через узагальнену гіпергеометричну функцію p F q [ a 1 , a 2 , … , a p b 1 , b 2 , … , b q ∣ ∣ ∣ z ] = ∞ ∑ k = 0

a ( k ) 1 a ( k ) 2 … a ( k ) p b ( k ) 1 b ( k ) 2 … b ( k ) q z k k ! , де через x ( n ) позначено символ Похгаммера (зростаючий факторіал), який визначається за формулою x ( n ) = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) для n ≥ 1 і x ( 0 ) = 1 , у такий спосіб A ( k ) n ( m , x ) = x n k + p F q ⎡ ⎢ ⎣ a 1 , a 2 , … , a p , − n k , − n − 1 k , … , − n − k + 1 k b 1 , b 2 , … , b q ∣ ∣ ∣ m x k ⎤ ⎥ ⎦ , і одночасно многочлени цього сімейства є многочленами типу Аппеля. Для многочленів цього сімейства вперше знайдено породжуючу функцію і доведено, що вони є многочленами типу Аппеля. Знайдено розклад представників цього сімейства за стандартним базисом в замкнутій формі та у формі ряду диференціального оператора, а також нову тотожність для узагальненої гіпергеометричної функції. Крім цього, для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля встановлено формули додавання і множення аргумента та деякі інші.