Обмеженість перетворення Гільберта на просторах Бєсова

Abstract

Перетворення Гільберта вздовж кривих має велике значення в гармонічному аналізі. Відомо, що його обмеженість на L p ( R n ) широко досліджувалось різними авторами в різних контекстах і автори отримували позитивні результати для деяких або всіх p , 1 < p < ∞ . Теорія Літлвуда-Пелі надає альтернативні методи вивчення сингулярних інтегралів. Перетворення Гільберта взовж кривих, як класичний приклад сингулярного інтеграла, призвело до появи сучасної теорії операторів Кальдерона-Зіґмунда, які здебільшого вивчені на лебегових просторах L p . У цій статті ми використовуємо теорію Літлвуда-Пелі щоб доведести, що обмеженість перетворення Гільберта вздовж кривої Γ на просторах Бєсова B s p , q ( R n ) може бути отримана з його L p -обмеженості, де s ∈ R , p , q ∈ ] 1 , + ∞ [ , і Γ ( t )

− відповідна крива в R n . Відомо, що простори Бєсова B s p , q ( R n ) вкладені в простори L p ( R n ) для s > 0 (тобто B s p , q ( R n ) ↪ L p ( R n ) , s > 0 ) . Отже, наш результат можна розглядати як продовження відомих результатів на простори Бєсова B s p , q ( R n ) для довільних значень s в R .